Köklü Sayılar
1 soruluk gerçek sınav dağılımı
- Köklü Sayıların Özellikleri
- Köklü Sayılarda Dört İşlem
- İç İçe Kökler
- Köklü Denklemler
Sayılar
KPSS Matematik testinde sayılar; doğal, tam, rasyonel, irrasyonel ve reel sayılar üzerinden temel kavram ve işlemlerle sorulur.
1. Doğal Sayılar ve Özellikleri
- Doğal sayılar 0’dan başlar ve sonsuza kadar gider. (Örn: 0, 1, 2, 3, …)
- Toplama ve çarpma işlemleri daima doğal sayı verir. (Örn: 5+7=12, 3×4=12).
- Çıkarma işlemi her zaman doğal sayı vermeyebilir. (Örn: 3-5 = -2 ∉ N).
2. Tam Sayılar ve İşlemler
- Tam sayılar: Negatif, pozitif ve 0’dan oluşur. (Örn: -3, 0, 12).
- (-) × (-) = (+), (+) × (-) = (-). (Örn: -2 × -5 = 10, -3 × 4 = -12).
- (-) ÷ (-) = (+), (+) ÷ (-) = (-). (Örn: -12 ÷ 3 = -4).
3. Rasyonel Sayılar
- a/b şeklinde (b≠0) yazılabilen sayılardır. (Örn: 3/4, -2/5, 0,25).
- Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. (Örn: 5 = 5/1).
- Rasyonel sayılar ondalık sayı şeklinde gösterilebilir. (Örn: 1/2 = 0,5).
4. İrrasyonel Sayılar
- Kesir halinde yazılamayan, ondalık kısmı sonsuz ve düzensiz olan sayılardır.
- Örnek: √2 ≈ 1,414…, π ≈ 3,14159…, e ≈ 2,718…
- Her karekök sonucu irrasyonel değildir. (Örn: √9 = 3 → rasyonel).
5. Reel Sayılar
- Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi = Reel sayılar (R).
- Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalar reel sayıdır.
- Örn: -7, 0, 1/2, √2, π hepsi reel sayıdır.
6. Sayı Doğrusu ve Sıralama
- Sayı doğrusu küçükten büyüğe doğru sıralanır.
- Pozitif sayılar 0’ın sağında, negatifler solundadır.
- Örnek: -5 < -2 < 0 < 3 < 7.
7. Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler
- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
- Her doğal sayı → tam sayı, her tam sayı → rasyonel sayı.
- Her rasyonel sayı → reel sayı, fakat her reel sayı rasyonel değildir (irrasyoneller hariç).
Köklü Sayılar
KPSS Matematik testinde köklü sayılar; tanım, sadeleştirme, dört işlem ve sıralama soruları üzerinden sıkça gelir. Kareköklü ifadeler, mutlak değer ilişkisi ve yaklaşık değer bilgisi önemlidir.
1. Köklü Sayı Kavramı ve Temel Özellikler
- √a: a’nın karekökü (a ≥ 0 için tanımlı).
- √(a²) = |a| → Mutlak değer unutulmamalı.
- n. dereceden kök: ⁿ√a, a’nın n. dereceden köküdür (n çiftse a ≥ 0 olmalı).
- Örnek: √25 = 5.
- Örnek: ³√(-8) = -2.
- Örnek: √(x²) = |x|.
- Örnek: ⁴√16 = 2 çünkü 2⁴ = 16.
2. Köklü Sayılarda Temel İşlemler
- √a × √a = a.
- √a × √b = √(ab).
- √a / √b = √(a/b) (b ≠ 0 için).
- Örnek: √3 × √12 = √36 = 6.
- Örnek: √5 × √20 = √100 = 10.
- Örnek: √18 / √2 = √9 = 3.
3. Köklü Sayılarda Çarpma ve Bölme
- Kök içleri çarpılıp bölünebilir.
- Örnek: √2 × √8 = √16 = 4.
- Örnek: √50 ÷ √2 = √25 = 5.
- Örnek: √6 × √24 = √144 = 12.
- Örnek: √75 / √3 = √25 = 5.
4. Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma
- Kök içi aynı olan ifadeler toplanabilir/çıkarılabilir.
- Örnek: 2√3 + 5√3 = 7√3.
- Örnek: 6√2 - 4√2 = 2√2.
- Kök içleri farklı ise toplama yapılamaz: √2 + √3 → olduğu gibi kalır.
- Örnek: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
5. Köklü Sayılarda Sadeleştirme
- Kök içindeki sayılar asal çarpanlara ayrılarak kök dışına çıkarılır.
- Örnek: √72 = √(36×2) = 6√2.
- Örnek: √200 = √(100×2) = 10√2.
- Örnek: √48 = √(16×3) = 4√3.
- Örnek: ³√54 = ³√(27×2) = 3³√2.
6. Köklü Sayılarda Sıralama
- Kök içleri eşitlenerek karşılaştırılır.
- Örnek: √18 ve 3√2 → √18 = 3√2 → eşit sayılardır.
- Örnek: √50 ve 5√2 → √50 = 5√2 → eşit.
- Kök dereceleri eşitse kök içi büyük olan daha büyüktür.
- Yaklaşık değerler: √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,23.
- Örnek: √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,23 → √5 daha büyüktür.
7. Pratik Hesaplama Teknikleri
- √a × √b = √(ab) kuralını doğrudan uygula.
- Köklü sayıyı küçültmek için asal çarpan yöntemini kullan.
- Örnek: √245 = √(49×5) = 7√5.
- Bölmede kök içini payda–payda olarak ayır.
- Yaklaşık değer bilgisi → sıralama sorularında çok kullanılır.
- Örnek: √8 ≈ 2,82, √10 ≈ 3,16 → √10 daha büyüktür.
8. KPSS İçin Stratejik Taktikler
- Toplama–çıkarma sorularında kök içlerini eşitlemeye çalış.
- Çarpma–bölme sorularında önce sadeleştirme yap, hata riskin azalır.
- Unutma: √(a²) = |a| → işaret kontrolü sorularda tuzak olabilir.
- Köklü sayılarla irrasyonel sayılar birlikte sorulabilir.
- KPSS’de en çok çıkan tip: Sadeleştirme + toplama–çıkarma işlemlerinde kök içlerini eşitleme sorularıdır.